abulfadl.ahmadi
Back to Notes
Electromagnetism2024-11-25

جزوه جامع و تحلیلی الکترومغناطیس ۲

از استخراج معادله موج تا تحلیل هندسی جواب دالامبر

مقدمه کل‌نگر

هدف این جزوه، ارائه یک سیر منطقی و یکپارچه از مفاهیم تدریس‌شده در این جلسه کلاس الکترومغناطیس ۲ است. در این جلسه، مطالب در سه گام اساسی تکامل یافته‌اند:

  1. استخراج معادله موج الکترومغناطیسی: ابتدا با استفاده از معادلات بنیادی ماکسول، رفتار میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی در یک محیط رسانا و اتلافی استخراج می‌شود و به معادله تلگرافچی می‌رسیم.
  2. بررسی ریاضی جواب‌های موج تخت روان: در گام دوم، با فرض محیط ساده‌ترِ بدون اتلاف، رفتار پتانسیل برداری A⃗\vec{A} را تحلیل کرده و صدق کردن جواب‌های کلاسیک موج تخت روان A⃗(k^⋅r⃗−vt)\vec{A}(\hat{k}\cdot\vec{r}-vt) را اثبات می‌کنیم.
  3. حل عمومی معادله موج به روش دالامبر: در نهایت، به جای حدس زدن شکل جواب، معادله موج را در یک بعد به کمک روش مشخصه‌ها به صورت ریاضی حل کرده و با برگرداندن آن به حالت سه‌بعدی، تعبیر هندسی زیبایی از جبهه‌های موج تخت و صفحات هم‌فاز ارائه می‌دهیم.

۱. معادلات بنیادی و استخراج معادله موج در محیط رسانا

برای شروع، به بنیادی‌ترین ابزارهای الکترومغناطیس، یعنی معادلات ماکسول در فرم دیفرانسیلی (ماکروسکوپیک) نیاز داریم:

∇⃗⋅D⃗=ρ∇⃗×E⃗=−∂B⃗∂t∇⃗⋅B⃗=0∇⃗×H⃗=J⃗+∂D⃗∂t\begin{aligned} \vec{\nabla} \cdot \vec{D} &= \rho \\ \vec{\nabla} \times \vec{E} &= -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ \vec{\nabla} \cdot \vec{B} &= 0 \\ \vec{\nabla} \times \vec{H} &= \vec{J} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \end{aligned}
  1. قانون گائوس: ∇⃗⋅D⃗=ρ\vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \rho
  2. قانون فارادی: ∇⃗×E⃗=−∂B⃗∂t\vec{\nabla} \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}
  3. قانون گائوس در مغناطیس: ∇⃗⋅B⃗=0\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0
  4. قانون تعمیم‌یافته آمپر: ∇⃗×H⃗=J⃗+∂D⃗∂t\vec{\nabla} \times \vec{H} = \vec{J} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}

روابط ساختاری و ویژگی‌های محیط

محیطی که موج در آن منتشر می‌شود دارای ویژگی‌های خاصی است:

  • روابط خطی: B⃗=μH⃗\vec{B} = \mu\vec{H} و D⃗=ϵE⃗\vec{D} = \epsilon\vec{E}. محیط همگن و ایزوتروپیک فرض شده است.
  • عدم وجود بار آزاد خالص (ρ=0\rho = 0): در یک رسانای خوب، هرگونه تجمع بار الکتریکی آزاد با سرعت بسیار بالایی (در مرتبه زمان رهاسازی τ=ϵ/g\tau = \epsilon/g) به سطح رسانا منتقل می‌شود؛ بنابراین در داخل حجم رسانا چگالی بار حجمی صفر است.
  • قانون اهم دیفرانسیلی (J⃗=gE⃗\vec{J} = g\vec{E}): حضور میدان الکتریکی متغیر با زمان، باعث ایجاد جریان الکتریکی انتقالی در رسانا می‌شود. پارامتر gg در اینجا همان رسانایی الکتریکی (σ\sigma) است.

با اعمال این شرایط در معادلات ماکسول، دستگاه معادلات برای داخل محیط رسانا به فرم ساده‌شده‌ی زیر در می‌آید:

∇⃗⋅E⃗=0∇⃗×E⃗=−∂B⃗∂t∇⃗⋅B⃗=0∇⃗×B⃗=μgE⃗+μϵ∂E⃗∂t\begin{aligned} \vec{\nabla} \cdot \vec{E} &= 0 \\ \vec{\nabla} \times \vec{E} &= -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ \vec{\nabla} \cdot \vec{B} &= 0 \\ \vec{\nabla} \times \vec{B} &= \mu g \vec{E} + \mu \epsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \end{aligned}

استخراج معادله موج برای میدان الکتریکی

برای رسیدن به معادله‌ای که رفتار فضایی و زمانی تنها یک میدان (در اینجا میدان الکتریکی E⃗\vec{E}) را توصیف کند، باید میدان مغناطیسی (B⃗\vec{B}) را از معادلات حذف کنیم.

از معادله قانون فارادی شروع کرده و از هر دو طرف آن عملگر کرل (∇⃗×\vec{\nabla} \times) می‌گیریم:

∇⃗×(∇⃗×E⃗)=∇⃗×(−∂B⃗∂t)\vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \times \vec{E}) = \vec{\nabla} \times \left( -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \right)

با توجه به اینکه عملگرهای مشتق مکانی (کرل) و مشتق زمانی مستقل هستند و می‌توانند جابه‌جا شوند، سمت راست را بازنویسی می‌کنیم:

∇⃗×∇⃗×E⃗=−∂∂t(∇⃗×B⃗)\vec{\nabla} \times \vec{\nabla} \times \vec{E} = -\frac{\partial}{\partial t} (\vec{\nabla} \times \vec{B})

ساده‌سازی سمت چپ (اتحاد برداری)

اتحاد برداری معروف «کرلِ کرل» به صورت زیر است:

∇⃗×∇⃗×E⃗=∇⃗(∇⃗⋅E⃗)−∇2E⃗\vec{\nabla} \times \vec{\nabla} \times \vec{E} = \vec{\nabla}(\vec{\nabla} \cdot \vec{E}) - \nabla^2\vec{E}

طبق دیورژانس میدان الکتریکی صفر است (∇⃗⋅E⃗=0\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = 0). پس جمله اول حذف شده و سمت چپ تنها برابر با −∇2E⃗-\nabla^2\vec{E} خواهد بود.

ساده‌سازی سمت راست (جایگذاری قانون آمپر)

اکنون قانون آمپر را در سمت راست جایگذاری می‌کنیم:

−∂∂t(∇⃗×B⃗)=−∂∂t(μgE⃗+μϵ∂E⃗∂t)=−μg∂E⃗∂t−μϵ∂2E⃗∂t2-\frac{\partial}{\partial t} (\vec{\nabla} \times \vec{B}) = -\frac{\partial}{\partial t} \left( \mu g \vec{E} + \mu \epsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right) = -\mu g \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} - \mu \epsilon \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}

با برابر قرار دادن سمت چپ و راست، علامت‌های منفی از طرفین ساده می‌شوند و به معادله موج در محیط رسانا (معادله تلگرافچی) می‌رسیم:

معادله دیفرانسیل موج الکترومغناطیسی (Telegrapher's Equation):

∇2E⃗=μg∂E⃗∂t+μϵ∂2E⃗∂t2\nabla^2 \vec{E} = \mu g \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} + \mu \epsilon \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}

شهود فیزیکی جملات:

  • جمله μϵ∂2E⃗∂t2\mu \epsilon \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} (جمله انتشار): این مشتق مرتبه دوم زمانی، عامل اصلی ایجاد رفتار موجی و انتشار انرژی در فضاست (مانند نوسانگر هماهنگ).
  • جمله μg∂E⃗∂t\mu g \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} (جمله میرایی/اتلاف): حضور مشتق مرتبه اول زمانی به معنای اتلاف انرژی است. از نظر فیزیکی، میدان الکتریکی موج باعث ایجاد جریان gE⃗g\vec{E} در رسانا شده و طبق قانون ژول، انرژی الکترومغناطیسی به صورت گرما تلف می‌شود. این جمله باعث افت نمایی دامنه موج در حین نفوذ به رسانا می‌شود (پدیده اثر پوستی یا Skin Effect).

سرعت موج، ضریب شکست و عملگر دالامبر

سرعت موج و ضریب شکست

اگر محیط رسانا نبود (g=0g=0)، معادله به فرم استاندارد موج ∇2E⃗=1v2∂2E⃗∂t2\nabla^2 \vec{E} = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} در می‌آمد. سرعت فاز موج در محیط برابر است با:

v=1μϵ=1μ0ϵ0μrϵr=cKmKv = \frac{1}{\sqrt{\mu\epsilon}} = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0} \sqrt{\mu_r \epsilon_r}} = \frac{c}{\sqrt{K_m K}}

برای اکثر دی‌الکتریک‌ها و محیط‌های کاربردی غیرمغناطیسی، نفوذپذیری مغناطیسی نسبی تقریباً یک است (Km≈1K_m \approx 1). در این صورت K=n\sqrt{K} = n تعریف می‌شود که همان ضریب شکست (Refractive Index) محیط است.

فرم فشرده با عملگر دالامبر (d'Alembertian)

در فیزیک نظری و نسبیت، برای نمایش فشرده‌تر معادلات موج از عملگر دالامبر (□2\Box^2) استفاده می‌شود که یک لاپلاسین چهاربعدی (مکان-زمان) است:

□2≡∇2−1v2∂2∂t2=∇2−μϵ∂2∂t2\Box^2 \equiv \nabla^2 - \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} = \nabla^2 - \mu\epsilon\frac{\partial^2}{\partial t^2}

با استفاده از عملگر دالامبر:

□2E⃗=μg∂E⃗∂t□2B⃗=μg∂B⃗∂t\begin{aligned} \Box^2 \vec{E} &= \mu g \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \\ \Box^2 \vec{B} &= \mu g \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \end{aligned}

[!NOTE] گذار مفهومی ۱: عبور از اتلاف و گذار به پتانسیل برداری
پس از بررسی معادله موج الکترومغناطیسی در محیط‌های رسانا و مشاهده چگونگی ایجاد رفتار میرونده به دلیل حضور جمله اتلافی μg∂E⃗∂t\mu g \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}، اکنون گام بعدی در تحلیل رفتار امواج، بررسی جواب‌های ریاضی این معادلات است.
برای ساده‌سازی تحلیل ریاضی و فهم فیزیکی پایه‌ای، میدان‌ها را در یک محیط ساده، همگن و کاملاً نارسانا (بدون اتلاف، g=0g=0 و در فضای بدون بار آزاد، ρ=0\rho=0) بررسی می‌کنیم. همچنین، به جای تحلیل مستقیم میدان‌های برداری هم‌بسته E⃗\vec{E} و B⃗\vec{B}، ترجیح می‌دهیم معادله موج را بر حسب پتانسیل برداری مغناطیسی A⃗\vec{A} در گیج لورنتز فرمول‌بندی کنیم.

۲. اثبات جواب موج تخت برای پتانسیل برداری

تحت شرایط بدون اتلاف و بدون منبع ذکر شده در گذار فوق، پتانسیل برداری A⃗\vec{A} در گیج لورنتز در معادله دیفرانسیل موج همگن صدق می‌کند:

(∇2−1v2∂2∂t2)A⃗=0\left( \nabla^2 - \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \vec{A} = 0

که در آن v=1/μϵv = 1/\sqrt{\mu\epsilon} سرعت انتشار موج در این محیط است.

تعریف متغیر فاز و جواب پیشنهادی موج تخت

قصد داریم ثابت کنیم که تابعی به فرم یک موج تخت روان (Traveling Plane Wave)، جواب دقیق و معتبر معادله موج بالا است.

برای این کار، یک متغیر اسکالر به نام «فاز» با نماد ξ\xi تعریف می‌کنیم:

ξ=k^⋅r⃗−vt=kxx+kyy+kzz−vt\xi = \hat{k} \cdot \vec{r} - vt = k_x x + k_y y + k_z z - vt

⚠️ نکته بسیار مهم فیزیکی (تله ریاضی):
توجه داشته باشید که در اینجا بردار k^\hat{k} یک بردار یکه (Unit Vector) در راستای انتشار موج است، نه بردار عدد موج (k⃗\vec{k}). بنابراین، مؤلفه‌های kx,ky,kzk_x, k_y, k_z در واقع کسینوس‌های هادی جهت انتشار هستند و باید همیشه شرط زیر برای آن‌ها برقرار باشد:

∣k^∣2=kx2+ky2+kz2=1|\hat{k}|^2 = k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 = 1

فرض می‌کنیم پتانسیل برداری تنها تابعی از این متغیر فاز باشد، یعنی A⃗=A⃗(ξ)\vec{A} = \vec{A}(\xi).

اعمال عملگر لاپلاسین (محاسبه مشتقات مکانی)

با استفاده از قاعده زنجیره‌ای (Chain Rule):

∂2A⃗∂x2=kx2∂2A⃗∂ξ2,∂2A⃗∂y2=ky2∂2A⃗∂ξ2,∂2A⃗∂z2=kz2∂2A⃗∂ξ2\frac{\partial^2 \vec{A}}{\partial x^2} = k_x^2 \frac{\partial^2 \vec{A}}{\partial \xi^2}, \quad \frac{\partial^2 \vec{A}}{\partial y^2} = k_y^2 \frac{\partial^2 \vec{A}}{\partial \xi^2}, \quad \frac{\partial^2 \vec{A}}{\partial z^2} = k_z^2 \frac{\partial^2 \vec{A}}{\partial \xi^2}

عملگر لاپلاسین برابر است با مجموع این سه مشتق دوم مکانی:

∇2A⃗=(kx2+ky2+kz2)∂2A⃗∂ξ2=(1)∂2A⃗∂ξ2=∂2A⃗∂ξ2\nabla^2 \vec{A} = (k_x^2 + k_y^2 + k_z^2) \frac{\partial^2 \vec{A}}{\partial \xi^2} = (1) \frac{\partial^2 \vec{A}}{\partial \xi^2} = \frac{\partial^2 \vec{A}}{\partial \xi^2}

محاسبه مشتقات زمانی و اثبات نهایی

از تعریف فاز، مشتق زمان برابر ∂ξ∂t=−v\frac{\partial \xi}{\partial t} = -v است:

∂2A⃗∂t2=v2∂2A⃗∂ξ2\frac{\partial^2 \vec{A}}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 \vec{A}}{\partial \xi^2}

با قرار دادن در معادله موج:

∂2A⃗∂ξ2−1v2(v2∂2A⃗∂ξ2)=0  ⟹  0=0\frac{\partial^2 \vec{A}}{\partial \xi^2} - \frac{1}{v^2} \left( v^2 \frac{\partial^2 \vec{A}}{\partial \xi^2} \right) = 0 \quad \implies \quad 0 = 0

این تساوی قطعی اثبات می‌کند که هر تابع دلخواهی به فرم A⃗(k^⋅r⃗−vt)\vec{A}(\hat{k}\cdot\vec{r} - vt) پاسخی ریاضی و معتبر برای معادله موج است.

[!NOTE] گذار مفهومی ۲: از راستی‌آزمایی جواب تا استخراج جواب عمومی دالامبر
تا بدین‌جا، ما یک فرم خاص از جواب را پیشنهاد داده (موج تخت با فاز k^⋅r⃗−vt\hat{k}\cdot\vec{r} - vt) و صحت آن را در معادله موج به صورت ریاضی بررسی و تایید کردیم. اما این رویکرد متکی بر داشتن یک «حدس اولیه» بود.
برای رسیدن به عمومی‌ترین و کلی‌ترین جواب ریاضی، مسئله را به یک بعد تقلیل می‌دهیم و از روش تاریخی ژان دالامبر استفاده می‌کنیم.

۳. حل دالامبر برای معادله موج و تعبیر هندسی موج تخت

کار را با معادله موج یک‌بعدی برای تابع اسکالر u(x,t)u(x,t) آغاز می‌کنیم:

∂2u∂x2−1v2∂2u∂t2=0\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0

تغییر متغیر متقارن و انتقال به مختصات مشخصه

با تغییر متغیر y=vty = vt و تعریف متغیرهای مشخصه (Characteristic Coordinates):

x′=x+y,y′=x−yx' = x + y, \quad y' = x - y

معادله دیفرانسیل به فرم بسیار ساده زیر در می‌آید:

4∂2u∂x′∂y′=0  ⟹  ∂∂y′(∂u∂x′)=04 \frac{\partial^2 u}{\partial x' \partial y'} = 0 \implies \frac{\partial}{\partial y'} \left( \frac{\partial u}{\partial x'} \right) = 0

انتگرال‌گیری و رسیدن به جواب عمومی دالامبر

با دو بار انتگرال‌گیری به جواب مشهور دالامبر (D'Alembert's Formula) می‌رسیم:

جواب عمومی معادله موج یک‌بعدی:

u(x,t)=f(x−vt)+g(x+vt)u(x,t) = f(x - vt) + g(x + vt)

شهود فیزیکی: تابع f(x−vt)f(x-vt) نشان‌دهنده موجی است که با سرعت vv در جهت مثبت محور xx در حال حرکت (پیشروی) است، و تابع g(x+vt)g(x+vt) موجی را نشان می‌دهد که در جهت منفی محور xx در حال حرکت است.

تعبیر هندسی و دیاگرام امواج تخت (Plane Waves)

در فیزیک امواج سه‌بعدی، جواب موج به فرم عمومی u(r⃗,t)=f(k^⋅r⃗−vt)u(\vec{r}, t) = f(\hat{k} \cdot \vec{r} - vt) تعمیم می‌یابد:

  • k^\hat{k} بردار یکه عمود بر جبهه موج است که جهت انتشار انرژی را نشان می‌دهد.
  • عبارت ξ=k^⋅r⃗−vt\xi = \hat{k} \cdot \vec{r} - vt متغیر فاز موج است.
  • اگر مجموعه‌ای از نقاط (با بردارهای مکان r⃗\vec{r}) روی یک صفحه عمود بر k^\hat{k} قرار داشته باشند، ضرب داخلی تمام آن‌ها با بردار k^\hat{k} یک مقدار ثابت خواهد بود (k^⋅r⃗=Constant\hat{k} \cdot \vec{r} = \text{Constant}). این یعنی در یک زمان مشخص t1t_1، فاز موج (ξ\xi) در تمام نقاط این صفحه برابر است. به این صفحات، صفحات هم‌فاز (Equiphase Surfaces) می‌گویند.